2020年高中一年级数学常识讲学(必学5)专题04 数列的定义与简单表示法(深度精讲)

2019-2020学年高中一年级数学常识讲学（必学5）

专题04数列的定义与简单表示法

【常识导图】

【目的导航】

1.理解数列的定义、表示、分类；

2．理解数列的通项公式及其简单应用；

3．能依据数列的前几项写出一个通项公式.

4.理解递推公式的意思，能依据递推公式写出数列的前几项，并能总结出数列的通项公式；

5．领会递推公式是表示数列的一种办法.

【重难题精讲】

重点1、数列的定义

根据肯定顺序排列的一列数叫做数列.数列中的每个数都叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数为这个数列的第一项，也叫做首项.排在第n位的数称作这个数列的第n项，记作an.数列的一般形式为a1，a2，a3，…，an…，简记为{an}．

注意：

数列的概念中要把握两个关键字：“肯定顺序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这类数是根据“肯定顺序”排列着的，即确定的数在确定的地方．

项an与序号n是不一样的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的地方．

{an}与an是不同定义：{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…；而an表示数列{an}中的第n项．

数列的简记符号{an}，不可以理解为集合{an}，其不同如下表：

重点2、数列的通项公式

假如数列{an}的第n项an与项数n之间的关系可以用一个公式表示，那样这个公式叫做数列的通项公式.

注意：①数列的通项公式事实上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为概念域的函数表达式，即an＝f．

②已知数列的通项公式，依次用1,2,3，…去替代公式中的n，就能求出这个数列的各项；同时借助通项公式也可以判断某数是否某数列中的项，是第几项．

③同函数的关系式一样，并非所有些数列都有通项公式．如精准到1,0.1,0.01，…的不足近似值排成数列就不可以用通项公式表示．

重点3、数列的分类：

按项数分类：项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列.

按数列的每一项随序号的变化状况进行分类：

从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列.即an＋1>an．

从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列.即an＋1<an．

各项相等的数列叫做常数列．

从第2项起，有的项大于它的前一项，有的项小于它的前一项的数列叫做摆动数列.

重点4、假如已知数列的第1项，且从第二项开始的任一项an与它的前一项an－1间的关系可以用一个公式来表示，那样这个公式就叫做这个数列的递推公式，如a1＝1，an＋1＝an＋2就是数列{an}的一个递推公式．

重点5、给出递推公式及初始值的数列，比如：an＋1＝an＋an－1，a1＝a2＝1，如此给出的数列是一个确定的数列，即递推公式也是给出数列的一种办法．

【典题精练】

考试知识点1、数列的定义及分类

例1．【2016-2017学年安徽六安一中高中二年级上文周末测试】已知，那样数列是（ ）

A．递减数列 B．递增数列

C．常数列 D．摆动数列

【答案】B

【分析】

数列是递增数列，故选B．考试知识点点睛：解答数列定义题要紧扣有关概念，察看数列的项数特点，确定是有穷数列还是无穷数列，察看项的特征、变化规律确定增减性、周期性，也可以借用函数的单调性判断数列的增减．

考试知识点2、已知数列的前几项，写出数列的一个通项公式

例2．已知数列中，.

（1）写出数列的前5项.

（2）猜想数列的通项公式，并验证所猜的通项公式满足所给的递推公式.

【答案】（1）；，，，.（2）猜想，验证见分析

【分析】

（1），

，

，

，

.

（2）猜想.

显然，当时，；

当时，，

∴  .考试知识点点睛：依据数列的前几项求其通项公式，一般通项公式不唯一，大家常常取其形式上较方便的一个即可．解答时，主要靠察看、剖析、比较、总结、联想、转化等办法．察看时特别注意：①各项的符号特点；②分式的分子、分母特点；③相邻项的变化规律．处置办法常见的有：①化异为同；②拆项；③用n等表示符号规律；④与特殊数列的联系．

考试知识点3、数列通项公式的应用

例3．在数列中，.

（1）-107是否该数列中的某一项？如果是，其为第几项？

（2）求数列中的最大项.

【答案】（1）是，；（2）

【分析】

（1）令，

解得或（舍去）.所以

（2），

因为，所以最大项为考试知识点点睛：判断某数是不是为数列中的项的办法及步骤

①将所给项代入通项公式中；

②解关于n的方程；

③若n为正整数，说明某数是该数列的项；若n不是正整数，则不是该数列的项．

考试知识点4、求数列的最大项的办法

例4．已知数列{an}的通项公式为an＝则数列{an}中的最大项为

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

解法一an＋1－an＝ n＋1－nn＝·n，

当n<2时，an＋1－an>0，即an＋1>an；

当n＝2时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；

当n>2时，an＋1－an<0，即an＋1<an.

所以a1<a2＝a3，a3>a4>a5>…>an，

所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2×2＝.故选A.

解法二＝＝，

令>1，解得n<2；令＝1，解得n＝2；令<1，解得n>2.又an>0，

故a1<a2＝a3，a3>a4>a5>…>an，

所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2×2＝.故选A.考试知识点点睛：求数列{an}的最大项和最小项，一种办法是借助函数的最值法；另一种是不等式法，求最小项可由an≤an－1来确定n，求最大项可由an≥an－1来确定n.若数列是单调的，也可由单调性来确定最大或最小项，若数列的项是正负交替出现的，求最大项，应在其正项中找．

考试知识点5、由数列的递推公式求项、总结通项公式

例5．已知无穷数列

（1）求这个数列的第10项.

（2）是这个数列的第几项？

（3）这个数列有多少个整数项？

（4）是不是有等于序号的的项？假如有，求出这类项；假如没，试说明理由.

【答案】（1）；（2）第100项；（3）4个；（4）有，

【分析】

（1）将代入，得第10项为，即；

（2）设，解得，是第100项；

（3）设，变形得，可取的值有2，3，4，7，即有4个整数项；

（4）设，解得（舍）或，此时，所有等于序号的的项，且为考试知识点点睛：由递推公式写出通项公式的步骤：依据递推公式写出数列的前几项．依据写出的前几项，察看总结其特征，并把每一项统一形式．概括写出一个通项公式．

考试知识点6、由递推公式求通项公式的办法

求形如an＋1＝an＋f的通项公式．

求形如an＋1＝fan的通项公式．

已知数列{an}，a1＝1，an＋1＝nan，求通项公式an.

例6．【湖南长沙长郡中学2018-2019学年高中二年级下学期期末】在数列中，，且对于任意自然数，都有，则________．

【答案】

【分析】

对于任意自然数，都有，则，

，，，，.

上述等式全部相加得，

因此，，故答案为：.

考试知识点点睛：求形如an＋1＝an＋f的通项公式．

将原来的递推公式转化为an＋1－an＝f，再用累加法求解，即an＝a1＋＋＋…＋＝a1＋f＋f＋f＋…＋f．

求形如an＋1＝fan的通项公式．

将原递推公式转化为an＝f，再借助累乘法求解，即由a1＝f，a2＝f，…，an－1＝f，累乘可得a1＝ff…f．